Meglio togliersi subito questo dente!
Per gli impavidi profondi conoscitori della matematica, magari un po’ stagionati come me o che hanno vinto un master di papà ausiliario di figli frequentatori di scuole medie e alle prese con la materia; per quelli, insomma, a rischio “scazzamento” dopo le prime 10 righe di lettura inerenti alcuni principi basilari di matematica finanziaria, piuttosto che spegnere o rottamare dal balcone il computer per rifugiarsi nel tepore di un buon caffè, suggerisco di passare direttamente agli articoli successivi (sempre se non si sono già addormentati).
Forza su, iniziamo!
Calcolo del rendimento
Quanto mi ha reso un investimento? Beh, la differenza tra capitale finale e capitale iniziale (Cf – Ci). E in percentuale (%)? Aaaah, alziamo l’asticella di difficoltà (scherzo):
Questa formula la possiamo usare praticamente per tutto (fondi, sicav, azioni, obbligazioni, transazioni immobiliari, ecc…).
Come calcolo il rendimento “immediato” di un titolo? Il rendimento immediato è esattamente quale percentuale ho intascato da ogni cedola (quanto rende la cedola). Quindi Avremo:
Capitalizzazione e attualizzazione
Supponiamo di avere un capitale (ipotizziamo 100€) che non occorre per un lasso di tempo di 5 anni (ne il capitale ne eventuali remunerazioni dovute ad interessi) ed immaginiamo di poterli investire ad un determinato tasso fisso di rendimento (ipotizziamo il 10%). Quale sarà il capitale che ci sarà restituito dopo 5 anni?
Sarà 161,05€, perché i primi 100€ dopo un anno saranno diventati 110€ (100 di capitale e 10 di interessi), dopo due anni saranno 121€ (110€ del secondo anno più 11€ di interessi, 10% di 110), dopo tre anni saranno 133,1€ (121€+12,1€, 10% di 121€) e via discorrendo.
Questo sistema di calcolo si chiama “regime a capitalizzazione composta”, ossia maturano di anno in anno non solo gli interessi sul capitale ma anche quelli sugli interessi maturati e non distribuiti degli anni precedenti. Il regime a capitalizzazione “composta” si distingua da quello a capitalizzazione semplice per il fatto che in quest’ultimo, distribuendo periodicamente gli interessi, questi sono calcolati solo sul capitale iniziale (nel nostro esempio 100€).
Proviamo ora ad impostare una formula che rappresenti l’esempio utilizzato sinora:
C1 = [Ci + i*Ci] = Ci (1 + i)
C2 = [C1 + i*C1] = C1 (1 + i) = Ci (1 + i) (1 + i) = Ci (1+ i)²
C3 = [C2 + i*C2] = C2 (1+i) = Ci (1 + i)² (1+ i) = Ci (1 + i)³
………
NB: Con “*” intendiamo l’operatore matematico che serve a moltiplicare (* = X, ossia “per”), mentre l’operatore “²” è una cosiddetta “elevazione a potenza 2, cioè rappresenta una base (tutto ciò che è compreso tra parentesi) che va moltiplicata per se stessa tante volte quante sono indicate nell’esponente [ES: (1+i)² = (1+i)*(1+i); (1+i)³ = (1+i)*(1+i)*(1+i); e via discorrendo].
Questa è la tipica formula della capitalizzazione composta che si differenzia da quella utilizzata per la capitalizzazione semplice, ossia:
Cn = Ci+n*i*Ci ==> Cn = Ci(1+n*i). (fig. 1)
Dedichiamo qualche riga a un simbolo con cui faremo bene a familiarizzare, “Σ” (sigma maiuscolo, lettera greca). Questo simbolo indica che va applicata una sommatoria. Chiariamo subito che non modifica in alcun modo i calcoli che già saremmo in grado di fare se non conoscessimo questo simbolo perché è utilizzato unicamente come convenzione per semplificare visivamente una formula che potrebbe risultare anche molto lunga.
Supponiamo di voler calcolare la somma di tutti i flussi di cassa futuri “ƒc” di una attività finanziaria, diversi tra loro.
Es.: ƒct = ƒc1 + ƒc2 + ƒc3 + ƒc4 + ƒc5 + ƒc6 + ƒc7 + ƒc8 + ƒc9 + ƒc10
Questa espressione possiamo sintetizzarla con:
(fig. 2)
I flussi di cassa (Fc) da uno a 10 (per “i” che va da 1 a 10) dovranno essere sommati al fine di avere il flusso di cassa totale (Ft).
Finora abbiamo visto, dato un capitale iniziale ed un determinato tasso di interesse, quale importo ci sarà restituito alla scadenza di un periodo stabilito. Processo chiamato di “capitalizzazione”, semplice se non si generano interessi su interessi (spesso, ma non sempre, perché gli interessi vengono distribuiti appena maturati) e composta se invece gli interessi di tutti i periodi sono cumulati e consegnati a scadenza maturando interessi anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti.
Come facciamo, invece, a capire quale sarà il capitale ad oggi (definito iniziale nella trattazione precedente) conoscendo quello finale e l’interesse applicato?
Sarà necessaria una formula inversa da quelle suddette.
- A capitalizzazione semplice: la formula Cn = Ci(1+n*i) diventerà:
- A capitalizzazione composta: la formula
(fig. 3)
si complica un po’ e dovrà essere derivata dalla seguente formula più completa:
(fig. 4)
NB: Il valore corso del titolo altro non non è che il capitale ad oggi ossia il prezzo di mercato (o Ci)!
Il tasso “i” è anche chiamato TRES, Tasso di Rendimento Effettivo a Scadenza (IRR nello strabiliante mondo anglosassone, Internal Rate of Return, tasso interno di rendimento) ed è il tasso che considera la redditività di tutti i flussi considerando di portare il titolo a scadenza (*occhio*, solo se portato a scadenza, altrimenti cambierebbe il capitale Cr che diventerebbe Cv cioè il flusso derivante dalla “vendita” non dal “rimborso a valore nominale” noto sin dall’inizio!)
Queste formule, che attualizzano ad oggi un dato capitale futuro conoscendone anche gli interessi applicati, prenderanno i nomi di: attualizzazione semplice e composta.
Spieghiamo quest’ultima formula (in fig. 4):
Un flusso di cassa ƒc dovrà essere “attualizzato” (o anche “scontato”, visto che questa procedura è anche chiamata “di sconto”), per ogni periodo “t” che va da “1” ad “n” per un tasso di interesse “i” dato.
Quindi, la somma finale dei flussi di cassa scontati, ognuno considerando il proprio periodo di riscossione, dovrà essere aggiunta all’ultimo flusso (Cr, capitale di rimborso) anch’esso attualizzato tenendo conto di quando sarà restituito, cioè solo alla fine (periodo “n”).
Queste formule hanno una miriade di applicazioni, ad esempio: “conosco l’ammontare finale (Cr) della restituzione di un prestito e il captale inizialmente ricevuto, quale sarà il tasso di interesse applicato? Basterà impostare la formula in figura 4 ed attuare un processo iterativo (per tentativi) sostituendo valori plausibili al tasso “i” (badate che l’1% è 1:100, ossia 0,01) e vedere quando e per quale tasso la risultante complessiva della formula corrisponderà al capitale che avremo ricevuto inizialmente”.
Anche la formula del DCF (Discount Cash Flow) utilizzata per prezzare i tioli azionari si basa sulle stesso principio, ma la vedremo in un articolo dedicato al mondo azionario.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, altrimenti toccherà informarvi su altre fonti oppure procedere a “sentimento”! 😀
***ATTENTION PLEASE***
This article…..ma va, meglio in italiano:
Questo articolo sarà oggetto di continue modifiche ma mano che andremo avanti con le spiegazioni. Ogni volta che trattando i vari argomenti ci imbatteremo in una formula di matematica finanziaria non spiegata, lo aggiorneremo!!!
